「I managed to ~」の表現

「I managed to ~」は「何とか〜しました」という意味で、苦労したが結果的になんとかなったという表現です。

I managed to pass the exam.
私は何とか試験に合格した。

I managed to finish the work.
私は何とか仕事を終えた。

類義語「just barely ~」

「just barely ~」は「なんとか〜する」という意味を言い換えることができます。また「just barely」は「～したばかり」という意味もあります。

I just barely finished my work till 9pm.
私は何とか夜９時までに仕事を終えた。

「somehow ~」は「なんとか〜する」という意味を言い換えることができます。また「somehow」は「どういうわけか」や「どうも〜だ」という意味もあります。

He should somehow prove himself that he is innocence.
彼はなんとか彼自身が無罪であることを証明しなければならない。