「date」と「day」の違い

「date」とは

「date」は「日付」を指します。「日付」なので「年月日」を含んだ表現になります。

「day」は「1日」を指します。そこから「曜日」「昼間」「〜の日」などの意味になります。

「date」は「日付」のこと、「day」は「曜日や一日など、ある日」のことを指します。
「date」は「日付」なので、何月何日かを聞きたい場合、今日が何日かを聞きたい場合のどちらでも「date」を使います。

What's the date today?
今日は何日ですか？

一方、「曜日」を聞く場合には「day」を使います。

What day is it today?
今日は何曜日ですか？