「彼女は1枚の紙に自分の名前を書き、それを私に渡した。」
→「She wrote her name on a piece of paper and gave it to me.」
「彼女は」「1枚の紙に」「自分の名前を」「書いた」「そして」「それを私に渡した」
「write on ~」で「〜(の上)に書く」という意味になります。
「紙」は「paper」で不可算名詞なので「1枚の」を表す「a piece of」を使って「a piece of paper」とします。
「渡した」のは「1枚の紙」で、すでに言及した物なので「代名詞のit」で表します。 すでに言及した物ほど文頭の方に現れるという性質があるため、「give me it」ではなく「gave it to me」 となります。
「彼女は1枚の紙に自分の名前を書き、それを私に渡した。」は「She wrote her name on a piece of paper and gave it to me.」
となります。