「病気のせいで彼は1週間寝ていなければならなかった。」
→「His illness forced him to stay in bed for a week.」
「彼の病気は」「彼を」「海外に渡航するのを」「許さなかった」
「force」は「無理やりさせる」ような「非常に強い強制」を表します。
「force 人 to do」の形で使います。
「1週間」は「for a week」
「寝ている」は「stay in bed」
「ということを」は「to (do)」
なので「to stay in bed for a week」となります。
「病気のせいで彼は1週間寝ていなければならなかった。」は「His illness forced him to stay in bed for a week.」
となります。