「その上司はアシスタントに展示会を担当させた。」
→「The boss let his assistant take charge of the trade show.」
「その上司は」「アシスタントに」「展示会を」「担当させた」
「〜させた」は「使役」で「〜するのを許可した」なので「let」
「〜を担当する」なので「take charge of ~」
を使います。
「その上司はアシスタントに展示会を担当させた。」は「The boss let his assistant take charge of the trade show.」
となります。