「あなたは激怒したことを彼に謝るべきだ。」
→「You should apologize to him for losing your temper.」
「あなたは」「激怒したことを」「彼に」「謝るべきだ」
「謝る」は「apologize」で表します。
「apologize」は「apologize to 人 for ~」で「人に〜を謝る」という意味があります。
「べきだ」は「should」で表します。
「激怒する」は「lose one's temper」で表します。
「激怒」したのは「あなた」なので「lose your temper」となります。
「apologize to 人 for ~」より「for ~」＋「lose your temper」となり、
「前置詞」の後ろには「名詞(動名詞)」がくることから「losing your temper」となります。
「あなたは激怒したことを彼に謝るべきだ。」は「You should apologize to him for losing your temper.」
となります。